Question

已知函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．
证明：（I）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（II）．

Answer

（I）先利用数学归纳法证明0＜an＜1，再比较an+1和an的大小即可证明结论．
（II）构造新函数，0＜x＜1．利用g（x）在（0，1）上单调性来求g（x）的函数值的范围即可证明结论．
证明：（I）先用数学归纳法证明0＜an＜1，n=1，2，3，
（i）当n=1时，由已知显然结论成立．
（ii）假设当n=k时结论成立，即0＜ak＜1．
因为0＜x＜1时f′（x）=1-cosx＞0，
所以f（x）在（0，1）上是增函数．又f（x）在[0，1]上连续，
从而f（0）＜f（ak）＜f（1），即0＜ak+1＜1-sin1＜1．
故n=k+1时，结论成立．
由（ i）、（ii）可知，0＜an＜1对一切正整数都成立．
又因为0＜an＜1时，an+1-an=an-sinan-an=-sinan＜0，
所以an+1＜an，
综上所述0＜an+1＜an＜1．
（II）设函数g（x）=sinx-x+，0＜x＜1．由（I）知，
当0＜x＜1时，sinx＜x，
从而g′（x）=cosx-1+=0．
所以g（x）在（0，1）上是增函数．
又g（x）在[0，1]上连续，且g（0）=0，
所以当0＜x＜1时，g（x）＞0成立．
于是g（an）＞0，即sinan-an+3＞0．
故an+1＜3．