Question

已知二次函数
（I）若f（x）满足条件f（1-x）=f（1+x），试求f（x）的解析式；
（II）若函数f（x）在区间上的最小值为h（a），试求h（a）的最大值．

Answer

（1）先利用条件得对称轴方程求得a，即可求 f（x）的解析式；
（II）由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论．
【解析】
（I）∵f（x）满足条件f（1-x）=f（1+x），
∴f（x）图象的对称轴是x=1，
即：，a=1，∴f（x）的解析式为：x2-x-1；
（II）∵f（x）图象的对称轴是x=＞0，
①当0＜＜时，即a时，函数f（x）在区间上为增函数
当x=时，该函数取最小值h（a）=-；
②当≤≤2时，即a时，
当x=时，该函数取最小值h（a）=--a；
③当＞2时，即a时，函数f（x）在区间上为减函数
当x=2时，该函数取最小值h（a）=a-2；
综上，函数的最小值为 （8分）
当a=时h（a）max=（12分）