Question

设双曲线方程的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为．
（1）求双曲线的离心率；
（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程．

Answer

（1）a＞b可得e＞，可设直线l的方程为，由原点到直线l的距离为得，结合e＞可求e
（2）由（1）知道e=2即c=2a，所以设双曲线的方程为，又由题意得直线m方程为y=2（x-2a），代入双曲线方程得，记直线m与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），结合方程的根与系数关系及弦长公式可求a，进而可求双曲线方程
【解析】
（1）…（2分）
直线l的方程为，即bx+ay-ab=0，由原点到直线l的距离为得，即16a2（c2-a2）=3c4，…（4分）
两边同时除以a4得16（e2-1）=3e4，整理得3e4-16e2+16=0，解得…（5分）
又，故双曲线的离心率为e=2…（6分）
（2）由（1）知道e=2即c=2a，所以设双曲线的方程为
又由题意得直线m方程为y=2（x-2a），代入双曲线方程得 …（7分）
3x2-4（x-2a）2=3a2，整理得x2-16ax+19a2=0…（8分）
记直线m与双曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=16a，x1x2=19a2…（9分）∴∴…（11分）
∴所求双曲线方程为…（12分）