Question

已知椭圆C：的左右焦点为F₁，F₂，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，且
（1）计算椭圆的离心率e
（2）若直线l向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C截得的弦长为，则求椭圆C的方程．

Answer

（1）直线l方程与椭圆方程联立，求出交点M的坐标，利用得到e值．
（2）由（1）中求得的e值，可求出直线l方程，并化简椭圆方程，使其只含一个参数，设l′方程，与椭圆方程联立，用弦长公式求出l′被椭圆C截得的弦长，令其等于，即可得到椭圆方程．
【解析】
（1）y=ex+a，∴A（-，0），B（0，a） 
由，∴∴M（-c，），由，得 
（-c+，）=（，a），即∴e2=1-=，∴e=     
（2）∵e=，设椭圆的方程为3x2+4y2=3a2，l：y=x-+a
即消y，得4x2+（4a-2）x+a2-4a+1=0．设l交椭圆于B（x1，y1），C（x2，y2）
∴x1+x2=-，x1x2=

∴l===    
∴a=∴椭圆的方程为