Question

已知中心在原点的双曲线C的离心率为，一条准线方程为x=
（1）求双曲线C的标准方程
（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer

（1）由，得，由此能求出双曲线方程．
（2）由，知．由直线l与双曲线交于不同的两点得
=36（1-k2）=0，再由韦达定理结合题设条件进行求解．
【解析】
（1）∵，
∴a=，c=2，
∴双曲线方程为=1．（4分）
（2），
∴（1-3k2）x2-6kx-9=0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得
=36（1-k2）=0，
 即k2≠，且k2＜1①（6分）
x1+x2=，
由＞2，得x1x2+y1y2＞2，
而
=（k2+1）x1x2+
=．（8分）
于是＞2，即，
∴＜3，②（10分）
由①②得＜1，
．