Question

若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x₁、x₂总有以下不等式≤f（）成立，则称函数y=f（x）为区间D上的凸函数．
（1）证明：定义在R上的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函数；
（2）设f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]时，f（x）≤1恒成立，求实数a的取值范围，并判断函数
f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）能否成为R上的凸函数；
（3）定义在整数集Z上的函数f（x）满足：①对任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
试求f（x）的解析式；并判断所求的函数f（x）是不是R上的凸函数说明理由．

Answer

（1）利用作差法证明，即要证：，只要证：；
（2）首先根据自变量的范围进行分离常数，然后问题就转化为函数求最值的问题，求最值时利用配方法．根据a的范围和（1）判断是否为凸函数；
（3）首先令x=y=0，求出f（0）的值，在令y=-x，可得出f（x）与f（-x）之间的关系，反复利用这个关系数得出f（n）与f（1）的关系，就可得出f（x）的解析式，在利用基本不等式判断是否为凸函数．
【解析】
（1）证明：对任意x1，x2∈R，当a＜0，
有[f（x1）+f（x2）]-2f（）=ax12+bx1+c+ax22+bx2+c-2[a（）2+b（）+c]=ax12+ax22-a（x12+x22+2x1x2）=a（x1-x2）2             （3分）
∴当a＜0时，f（x1）+f（x2）≤2f（），即≤f（）
当a＜0时，函数f（x）是凸函数．                                          （5分）
（2）当x=0时，对于a∈R，有f（x）≤1恒成立；当x∈（0，1]时，要f（x）≤1恒成立，即ax2≤-x+1，
∴a≤-=（-）2-恒成立，∵x∈（0，1]，∴≥1，当=1时，（-）2-取到最小值为0，
∴a≤0，又a≠0，∴a的取值范围是（-∞，0）．
由此可知，满足条件的实数a的取值恒为负数，由（1）可知函数f（x）是凸函数  （11分）
（3）令x=y=0，则f（0）=[f（0）]2，∵f（0）≠0，∴f（0）=1，（12分）
令y=-x，则1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），故f（x）=；
若n∈N*，则f（n）=f[（n-1）+1]=f（n-1）f（1）=2f（n-1）=…=[f（1）]2；          （14分）
若n＜0，n∈Z，则-n∈N*，∴f（n）===2n；∴x∈Z时，f（x）=2x．
综上所述，对任意的x∈Z，都有f（x）=2x；                                 （15分）
∵[2+21]=＞，所以f（x）不是R上的凸函数．                       （16分）
（对任意x1，x2∈R，有[f（x1）+f（x2）]=[]≥×2=f（），所以f（x）不是R上的凸函数． 16分）