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设函数f(x)=x-a(x+1)ln(x+1),(x>-1,a≥0) (Ⅰ)求f...

设函数f(x)=x-a(x+1)ln(x+1),(x>-1,a≥0)
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=1时,若方程f(x)=t在manfen5.com 满分网上有两个实数解,求实数t的取值范围;
(Ⅲ)证明:当m>n>0时,(1+m)n<(1+n)m
(Ⅰ)求导数,再利用导数大于0,求函数的单调区间;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在上单调递增,在[0,1]上单调递减可得解(Ⅲ)根据要证明的结论,利用分析法来证明本题,从结论入手,要证结论只要证明后面这个式子成立,两边取对数,构造函数,问题转化为只要证明函数在一个范围上成立,利用导数证明函数的性质. 【解析】 (Ⅰ)f′(x)=1-aln(x+1)-a ①a=0时,f′(x)>0∴f(x)在(-1,+∞)上是增函数    …(1分) ②当a>0时,f(x)在上递增,在单调递减.…(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在上单调递增,在[0,1]上单调递减 又 ∴ ∴当时,方程f(x)=t有两解   …(8分) (Ⅲ)要证:(1+m)n<(1+n)m只需证nln(1+m)<mln(1+n), 只需证: 设,则…(10分) 由(Ⅰ)知x-(1+x)ln(1+x),在(0,+∞)单调递减    …(12分) ∴x-(1+x)ln(1+x)<0,即g(x)是减函数,而m>n ∴g(m)<g(n),故原不等式成立.          …(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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