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设f(x)=3ax2+2bx+c,且a+b+c=0,,求证: (1)若f(0)•...

设f(x)=3ax2+2bx+c,且a+b+c=0,,求证:
(1)若f(0)•f(1)>0,求证:-2<manfen5.com 满分网<-1;
(2)在(1)的条件下,证明函数f(x)的图象与x轴总有两个不同的公共点A,B,并求|AB|的取值范围.
(3)若a>b>c,g(x)=2ax2+(a+b)x+b,求证:manfen5.com 满分网时,恒有f(x)>g(x).
(1)先将f(0)>0,f(1)>0,利用函数式中的a,b,c进行表示,再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和 的范围即可. (2)方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4(b2-3ac),由条件a+b+c=0消去b,证明其大于0,再利用韦达定理求线段AB|的取值范围 (3)先构建函数h(x)=f(x)-g(x)=ax2+(b-a)x+c-b=ax2-(2a+c)x+a+2c,再证明时,大于0即可. 【解析】 (1)若a=0,则b=-c,f(0)•f(1)=c•(3a+2b+c)=-c2≤0与已知矛盾∴a≠0…(2分) 由f(0)•f(1)>0,得c(3a+2b+c)>0 由条件a+b+c=0消去c,得(a+b)(2a+b)<0∵a2>0∴,∴…(4分) (2)方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4(b2-3ac) 由条件a+b+c=0消去b,得∴方程f(x)=0有实根 即函数f(x)的图象与x轴总有两个不同的交点A、B.设A(x1,0),B(x2,0) 由条件知∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=∵∴∴即…(9分) (3)设h(x)=f(x)-g(x)=ax2+(b-a)x+c-b=ax2-(2a+c)x+a+2c∵a>b>c,a+b+c=0∴a>0且a>-a-c>c 即 又h(x)的对称轴为 ∴时, 即时,f(x)>g(x)恒成立…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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