Question

已知椭圆C₁的方程是，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，C₂的左、右顶点分别为C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）若直线与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B，且（O为原点），求k的取值范围；
（3）设P₁，P₂分别是C₂的两条渐近线上的点，点M在C₂上，且，求△P₁OP₂的面积．

Answer

（1）由椭圆C1的方程是，知a=2，b=1，c=，由此能求出双曲线C2的方程．
（2）由直线y=kx+，双曲线两个方程联立，得（1-3k2）x2-6kx-9=0．由直线y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，得k2+1＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，，=．由，能求出k的范围．
（3）C2渐近线为，设，且p2＞0，p1＜0，P1P2的方程为，令y=0，解得P1P2与x轴的交点为N（，0），由此能求出△P1OP2的面积．
【解析】
（1）∵椭圆C1的方程是，
∴a=2，b=1，c=，
∴双曲线C2的方程为．
（2）直线y=kx+，双曲线两个方程联立，并化简，得：
（1-3k2）x2-6kx-9=0，
∵直线y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B
∴△=（-6k）2-4×（1-3k2）×（-9）＞0
即k2+1＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则有x1+x2=，，
∴
=k2x1x2+k（x1+x2）+2
=．
∵，
∴-＜k＜，
故k的范围为：-＜k＜．
（3）C2渐近线为，设，且p2＞0，p1＜0，
∴P1P2的方程为，
令y=0，解得P1P2与x轴的交点为N（，0），
∴
=-2．
∵=
=[]
∴p1p2=1，
∴△P1OP2的面积S=2．