Question

已知S_n为数列{a_n}的前项和，且S_n=2a_n+n²-3n-2，n=1，2，3…
（Ⅰ）求证：数列{a_n-2n}为等比数列；
（Ⅱ）设b_n=a_n•（-1）ⁿ，求数{b_n}的n项和P_n；
（Ⅲ）设c_n=，数列{c_n}的n项和为T_n，求证：Tn＜．

Answer

（I）将Sn=2an+n2-3n-2利用数列中an，Sn的关系进行转化构造出新数列{an-2n}，再据其性质证明．
（Ⅱ）将（I）中所求的an代入bn，分组求和法求和．
（III）由于cn==，从而得出：当n=1时，T1=＜；当n≥时，Tn=+++…+＜+++…+利用等比数列的求和公式结合放缩法即可得到证明．
【解析】
（Ⅰ）∵Sn=2an+n2-3n-2
∴Sn+1=2an+1+（n+1）2-3（n+1）-2
∴an+1=2an-2n+2
∴an+1-2（n+1）=2（an-2n）
∴{an-2n}是以2为公比的等比数列．
（II）a1=S1=2a1-4，∴a1=4，∴a1-2×1=4-2=2
∴an-2n=2n，∴an=2n+2n …5分
当n为偶数时，
Pn=b1+b2+b3+…+bn=（b1+b3+…+bn-1）+（b2+b4+…+bn）
=-（2+2×1）-（23+2×3）-…-（2n-1+2（n-1）+（22+2×2）+（24+2×4）+…+（2n+2×n）
=-+n=•（2n-1）+n         …7分
当n为奇数时，
Pn=--（n+1）…9分
综上，Pn=…10分
（III）cn==，
当n=1时，T1=＜；
当n≥时，Tn=+++…+＜+++…+
=+=+-=-＜＜．
综上可知，任意n∈N*，Tn＜．…14分