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定义在R上的函数f(x)的图象关于点或中心对称,对任意的实数x均有且f(-1)=...

定义在R上的函数f(x)的图象关于点manfen5.com 满分网或中心对称,对任意的实数x均有manfen5.com 满分网且f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+…+f(2009)的值为    
根据题意需要反复给x恰当的值代入,求出函数的周期,再由函数图象关于点成中心对称,得到关系式f(+x)=-f(-x),利用条件和给x恰当的值求出函数在一个周期上的函数值,故求出一个周期内的函数值的和,根据函数的周期求式子的值. 【解析】 由f(x+)=-f(x),得f(x+3)=f[(x+)+]=-f(x+)=f(x),则有周期T=3. 又∵f(x)的图象关于点成中心对称,即f(+x)=-f(-x), 令x=代入上式,得f(-)=-f(-1),即f(1)=f(-+)=-f(-)=f(-1)=1, ∵f(-1)=1,f(0)=-2,函数的周期是3, ∴f(1+3k)=f(-2)=1,f(2+3k)=f(-1)=1,f(3+3k)=f(0)=-2,其中k是任意整数. 则f(1)+f(2)+…+f(2009)=[f(1)+f(2)+f(3)]+f(2008)+f(2009) =669×(1+1-2)+f(1)+f(2)=2. 故答案为:2.
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