Question

已知函数的图象过点和B（5，1）．
①求函数f（x）的解析式；②函数f（x）的反函数；③设a_n=log₂f（n），n是正整数，是数列的前项和S_n，解关于的不等式a_n≤S_n．

Answer

（1）函数的图象过点和B（5，1），知，由此能求出f（x）．
（2）设y=f（x）=2x-5，则x-5=log2y，x=log2y+5，x，y互换，得f-1（x）=5+log2x（x＞0）．
（3）由an=log2f（n）=log2（2n-5）=n-5，知，由an≤Sn，解不等式n-5≤，能得到{n∈N+|n=1或n≥10}．
【解析】
（1）∵函数的图象过点和B（5，1），
∴，解得a=2，b=32，
∴f（x）=2x-5．
（2）设y=f（x）=2x-5，
则x-5=log2y，
x=log2y+5，
x，y互换，得f-1（x）=5+log2x（x＞0）；
（3）∵an=log2f（n）=log2（2n-5）=n-5，
∴{an}是首项为-4，公差为1的等差数列，
∴，
∵an≤Sn，
∴n-5≤，
解得：{n∈N+|n=1或n≥10}．
故答案为：{n∈N+|n=1或n≥10}．