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设函数f(x)=在[1,+∞)上为增函数. (1)求正实数a的取值范围; (2)...

设函数f(x)=manfen5.com 满分网在[1,+∞)上为增函数.
(1)求正实数a的取值范围;
(2)若a=1,求证:manfen5.com 满分网(n∈N*且n≥2).
(1)由已知可得f'(x)=≥0对x∈[1,+∞)恒成立,即ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,可得a-1≥0,从而 求得正实数a的取值范围. (2)根据n≥2时:f()>f(1)=0,可得,从而得到 <lnn;设g(x)= lnx-x,x∈[1,+∞),则对x∈[1,+∞)恒成立,故 n≥2时,由g()<g(1)=-1<0,得 ln<1+,由此利用放缩法证得lnn<,从而证得不等式成立. 【解析】 (1)由已知:f'(x)=. 依题意得:≥0对x∈[1,+∞)恒成立. ∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,∴a-1≥0,即:a≥1. 故正实数a的取值范围为[1,+∞). (2)∵a=1,∴由(1)知:f(x)=在[1,+∞)上为增函数, ∴n≥2时:f()=, 即:…. (9分) ∴. 设g(x)=lnx-x,x∈[1,+∞),则对x∈[1,+∞)恒成立, ∴g′(x)在[1+∞)为减函数. ∴n≥2时:g()=ln-<g(1)=-1<0,  即:ln<=1+ (n≥2). ∴lnn=, 综上所证:(n∈N*且≥2)成立.
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考点分析:
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