Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．

Answer

（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由直线l不过原点，得到该直线在坐标轴上的截距不为0，设出直线l的截距式方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解可得到a的值，确定出直线l的方程；
（2）由切线的性质，得到三角形PCM为直角三角形，利用勾股定理得到|PC|2=|PM|2+r2，表示出|PM|2，由|PM|=|PO|，进而得到|PO|2，由设出的P的坐标和原点坐标，利用两点间的距离公式表示出|PO|，可得出|PO|2，两者相等，化简可得点P的轨迹方程．
【解析】
（1）将圆C配方得（x+1）2+（y-2）2=2．
由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y-a=0，
由=，得|a-1|=2，即a=-1，或a=3．
∴直线方程为x+y+1=0，或x+y-3=0；…（6分）
（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，
∴|PM|2=|PC|2-r2．
又∵|PM|=|PO|，
∴|PC|2-r2=|PO|2，
∴（x+1）2+（y-2）2-2=x2+y2．
∴2x-4y+3=0即为所求．…（12分）