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manfen5.com 满分网如图,F为抛物线y2=2px的焦点,A(4,2)为抛物线内一定点,P为抛物线上一动点,且|PA|+|PF|的最小值为8.
(1)求该抛物线的方程;
(2)如果过F的直线l交抛物线于M、N两点,且|MN|≥32,求直线l的倾斜角的取值范围.
(1)如图,设抛物线的准线为l,过P作PB⊥l于B,过A作AC⊥l于C,由抛物线定义知当且仅当A,P,C三点共线取等号.由题意知|AC|=8,从而求得p值,最后写出抛物线的方程; (2)设直线l的方程为y=k(x-4),将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值的范围,从而解决问题.. 【解析】 (1)设P点到抛物线的准线x=-的距离为d, 由抛物线的定义知d=|PF|, ∴(|PA|+|PF|)min=(|PA|+d)min=+4, ∴+4=8⇒p=8, ∴抛物线的方程为y2=16x.…(6分) (2)由(1)得F(4,0),设直线l的方程为y=k(x-4),显然k≠0.设M(x1,y1),N(x2,y2), 把直线方程代入抛物线,得k2x2-(8k2+16)x+16k2=0, x1+x2=,x1•x2=16, ∴|MN|=× =×=× =×16=≥32, ∴k2≤1,即-1≤k≤1, ∴直线l斜率的取值范围为[-1,0)∪(0,1], ∴直线l倾斜角的取值范围为:(0,]∪[,π)       …(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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