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已知点P(x,y)是渐近线为2x±3y=0且经过定点(6,2)的双曲线C1上的一...

已知点P(x,y)是渐近线为2x±3y=0且经过定点(6,2manfen5.com 满分网)的双曲线C1上的一动点,点Q是P关于双曲线C1实轴A1A2的对称点,设直线PA1与QA2的交点为M(x,y),
(1)求双曲线C1的方程;
(2)求动点M的轨迹C2的方程;
(3)已知x轴上一定点N(1,0),过N点斜率不为0的直线L交C2于A、B两点,x轴上是否存在定点 K(x,0)使得∠AKN=∠BKN?若存在,求出点K的坐标;若不存在,说明理由.
(1)直接设设c1方程为 4x2-9y2=λ,又点(6,2)在曲线上代入得λ=36即可得到结论; (2)结合已知得到=,=;相乘整理即可得到结论; (3)先联立直线方程与曲线方程,得到,y1y2=;根据∠AKN=∠BKN得到KAN+KBN=0;整理后结合已知条件即可求出结论. 【解析】 (1)可设c1方程为 4x2-9y2=λ,又点(6,2)在曲线上代入得λ=36. 所以双曲线C1的方程为:                      …(4分) (2)由题意A1(-3,0),A2(3,0),Q(x,y). 当P异于顶点时,=,= 所以    即  . 当P为顶点时直线PA1与 QA2的交点为顶点 所以      =1.…(9分) (3)设L交曲线C2于A(x1,y1),B(x2,y2),可设L方程为x=ty+1 (t≠0) 代入C2方程得   (9+4t2)y2+8ty-5=0 ,y1y2=. 若存在N,则KAN+KBN=0  即 =0. ∴y1(ty2+1-xN)+y2(ty1+1-xN)=0 即  2t•+(1-xN)•=0对t恒成立 所以  xN= 故点N坐标为(,0)…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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