Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，
（1）证明为等差数列，并求a_n；
（2）若，求数列{c_n}中的最小值．
（3）设（n∈N⁺），是否存在m∈N⁺使得f（m+15）=5f（m）成立？

Answer

（1）由题意可得对于原等式两边同时减1，并且整理取倒数可得：，进而得到 是等差数列，并且得到 ．
（2）由（1）可得：，根据题意设{cn}中最小者为cm，则有 ，解得 ，进而得到答案．
（3）由已知得，再分别同理m为奇数、偶数代入表达式，进而求出m的值即可得到答案．
【解析】
（1）由题意可得：，
所以 …（2分）
所以 是首项为，公差为1的等差数列，
并且 ，
所以可得：…（4分）
（2）由（1）可得：，根据题意设{cn}中最小者为cm
所以有 ，即 …（6分）
解得 …（8分）
所以{cn}中最小值为…（9分）
（3）由已知得…（10分）
①当m为奇数时，m+15为偶数，则 有f（m+15）=5f（m），
所以由题意可知：3（m+15）+2=5（m+5），解得 m=11…（12分）
②当m为偶数时，m+15为奇数，则 有（m+15）+5=5（3m+2），所以解得（舍去），
故存在m=11使得等式成立…（13分）