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已知函数y=|x|+1,,(x>0)的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0...

已知函数y=|x|+1,manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网(x>0)的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根,其中0<t<1.
(Ⅰ)求证:a2=2b+3;
(Ⅱ)设(x1,M),(x2,N)是函数f(x)=x3+ax2+bx+c的两个极值点.
①若manfen5.com 满分网,求函数f(x)的解析式;
②求|M-N|的取值范围.
(Ⅰ)先利用函数的单调性求出前三个函数的最小值,代入x3+ax2+bx+c=0可得a2=2b+3. (Ⅱ)x1,x2是方程f'(x)=3x2+2ax+b=0的根⇒有,△=(2a)2-12b>0,得b<3    ①利用两根之差的绝对值和两根之和,两根之积的关系,可以求得a,b,c,即得.   ②|M-N|的取值即为两函数值之间的关系,利用根与系数的关系进行转化,在利用所求b<3或a<-1代入即可. 【解析】 (Ⅰ)三个函数的最小值依次为1,,,(3分) 由f(1)=0,得c=-a-b-1 ∴f(x)=x3+ax2+bx+c=x3+ax2+bx-(a+b+1)=(x-1)[x2+(a+1)x+(a+b+1)], 故方程x2+(a+1)x+(a+b+1)=0的两根是,. 故,.(4分) ,即2+2(a+b+1)=(a+1)2 ∴a2=2b+3.(5分) (Ⅱ)①依题意x1,x2是方程f'(x)=3x2+2ax+b=0的根, 故有,, 且△=(2a)2-12b>0,得b<3. 由(7分) =;得,b=2,a2=2b+3=7. 由(Ⅰ)知,故a<-1, ∴, ∴.(9分) ②|M-N|=|f(x1)-f(x2)| =|(x13-x23)+a(x12-x22)+b(x1-x2)| =|x1-x2|•|(x1+x2)2-x1x2+a(x1+x2)+b| = =(或).(11分) 由(Ⅰ) ∵0<t<1,∴2<(a+1)2<4, 又a<-1, ∴, ,(或)(13分) ∴.(15分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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