Question

如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，顶点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|．

Answer

（1）利用线段垂直平分线的性质推出 NC+NM=r=2＞AC，再利用椭圆的定义知，点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，利用待定系数法求出椭圆的方程．
（2）点斜式写出直线l方程，代入曲线E的方程，转化为一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出|HQ|．
【解析】
（1）设点N的坐标为（x，y），∵，∴点P为AM的中点，
∵=0，∴NP⊥AM，∴NP是线段AM的垂直平分线，∴NM=NA，
又点N在CM上，设圆的半径是 r，则 r=2，
∴NC=r-NM，∴NC+NM=NC+NA=r=2＞AC，∴点N的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，
∵2a=2，c=1，∴b=1，∴椭圆  +y2=1，即曲线E的方程：+y2=1．
（2）∵过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，∴直线l方程为 y-0=x-1，
代入曲线E的方程得：3x2-4x=0，∴x1+x2=，x1•x2=0，
由弦长公式得：|HQ|=•=，