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对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下三条:①对任意的x∈[0,...

对于定义域为[0,1]的函数f(x),如果同时满足以下三条:①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.
(1)若函数f(x)为理想函数,求f(0)的值;
(2)判断函数g(x)=2x-1(x∈[0,1])是否为理想函数,并予以证明;
(3)若函数f(x)为理想函数,假定∃x∈[0,1],使得f(x)∈[0,1],且f(f(x))=x,求证f(x)=x
(1)取x1=x2=0可得f(0)≥f(0)+f(0)⇒f(0)≤0,由此可求出f(0)的值. (2)g(x)=2x-1在[0,1]满足条件①g(x)≥0,也满足条件②g(1)=1.若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,满足条件③,收此知故g(x)理想函数. (3)由条件③知,任给m、n∈[0,1],当m<n时,由m<n知n-m∈[0,1],f(n)=f(n-m+m)≥f(n-m)+f(m)≥f(m).由此能够推导出f(x)=x. 【解析】 (1)取x1=x2=0可得f(0)≥f(0)+f(0)⇒f(0)≤0.(1分) 又由条件①f(0)≥0,故f(0)=0.(3分) (2)显然g(x)=2x-1在[0,1]满足条件①g(x)≥0;(4分) 也满足条件②g(1)=1.(5分) 若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 则=,即满足条件③,(8分) 故g(x)理想函数.(9分) (3)由条件③知,任给m、n∈[0,1],当m<n时,由m<n知n-m∈[0,1], ∴f(n)=f(n-m+m)≥f(n-m)+f(m)≥f(m).(11分) 若x<f(x),则f(x)≤f[f(x)]=x,前后矛盾;(13分) 若x>f(x),则f(x)≥f[f(x)]=x,前后矛盾.(15分) 故x=f(x).(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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