Question

已知抛物线y=n（n+1）x²-（2n+1）x+1，当n=1，2，3，…时，该抛物线在x轴上所截得的线段长依次组成数列{a_n}，其顶点的纵坐标依次组成数列{b_n}，求．

Answer

先设抛物线在x轴上的两个交点分别为：A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是方程n（n+1）x2-（2n+1）x+1=0的两个根，利用根与系数的关系写出x1+x2，x1•x2，从而an和bn，利用拆项法求和a1+…+an，b1+…+bn最后求出和的极限即可．
【解析】
设抛物线在x轴上的两个交点分别为：A（x1，0），B（x2，0），
则x1，x2是方程n（n+1）x2-（2n+1）x+1=0的两个根，
x1+x2=，x1•x2=
an=|x1-x2|===，
bn==（），
a1+…+an=1-+-+…+=1-
b1+…+bn=（1-）
∴=lim （1-）=．