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如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=manfen5.com 满分网的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD
(1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC;
(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角;
(3)求直线AB与平面PCD的距离.

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(1)由已知中四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB⊥底面ABCD,根据面面垂直的性质定理可得BC⊥侧面PAB,再由面面垂直的判定定理即可得到侧面PAB⊥侧面PBC; (2)取AB中点E,连接PE、CE,根据(1)的结论和等腰三角形性质,可得∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角,解三角形PCE即可求出侧棱PC与底面ABCD所成的角; (3)取CD中点F,连EF、PF,可得EG⊥平面PCD,解△PEF求了EG的长,即可求出直线AB与平面PCD的距离. 证明:(1)在矩形ABCD中,BC⊥AB 又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB ∴BC⊥侧面PAB  又∵BC⊂侧面PBC ∴侧面PAB⊥侧面PBC; 【解析】 (2)取AB中点E,连接PE、CE 又∵△PAB是等边三角形∴PE⊥AB 又∵侧面PAB⊥底面ABCD,∴PE⊥面ABCD ∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角 在Rt△PEC中,∠PCE=45°为所求 (3)在矩形ABCD中,AB∥CD ∵CD⊂侧面PCD,AB⊄侧面PCD,∴AB∥侧面PCD 取CD中点F,连EF、PF,则EF⊥AB 又∵PE⊥AB∴AB⊥平面PEF   又∵AB∥CD ∴CD⊥平面PEF∴平面PCD⊥平面PEF 作EG⊥PF,垂足为G,则EG⊥平面PCD 在Rt△PEF中,EG=为所求.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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