Question

设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），又当x＞0时，f（x）＜0且f（2）=-1．试问函数f（x）在区间[-6，6]上是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值、最小值；如果没有，请说明理由．

Answer

由已知中对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，我们可以得到设x=y=0，则f（0）=0，再令y=-x可得f（-x）=-f（x），进而根据函数奇偶性的定义得到结论f（x）为奇函数，再利用函数单调性的定义由x＞0时，有f（x）＞0，结合对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，判断出函数的单调性，进而根据f（2）=-1，得到f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值，得到答案．
【解析】
令x=y=0知f（0）=0，
令x+y=0知f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为奇函数．…（2分）
任取两个自变量x1，x2且-∞＜x1＜x2＜+∞，
则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），
∵x2＞x1，∴x2-x1＞0知f（x2-x1）＜0，即f（x2）-f（x1）＜0，
故f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．…（8分）
因此f（x）在[-6，6]上有最大值和最小值                  …（10分）
最小值为f（6）=f（4）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2）=-3；
最大值为f（-6）=-f（6）=3．…（12分）