Question

当今世界进入了计算机时代，我们知道计算机装置有一个数据输入口A和一运算结果输出口B，某同学编入下列运算程序，将数据输入且满足以下性质：
①从A输入1时，从B得到；
②从A输入整数n（n≥2）时，在B得到的结果f（n）是将前一结果f（n-1）先乘以奇数2n-3，再除以奇数2n+1．
（1）求f（2），f（3），f（4）；
（2）试由（1）推测f（n）的表达式，并用数学归纳法证明；
（3）求．

Answer

（1）由已知，得出f（n）=f（n-1）（n≥2）．依次令n=2，3，4可求出f（2），f（3），f（4）；
 （2）根据（1）的结果，推测并依照数学归纳法进行证明．
（3）f（n）=裂项为（）．求和后再求极限．
（1）【解析】
是题意知f（1）=，f（n）=f（n-1），
∴当n=2时f（x）=，
当n=3时f（3）=，
当n=4时f（4）=，
猜想f（n）=．…（3分）
（2）证明：（ⅰ）当n=1时f（1）=满足f（n）=．
（ⅱ）假设n=k（k∈N*且k≥1）时，f（k）=．，
那么n=k+1时，f（k+1）=f（k）=×=
∴n=k+1时也满足f（n）=．
综上知：f（n）=．…（8分）
（3）=
=lim（1-+-+…+-）
==                                    …（12分）