Question

已知函数y=f（x）是定义在区间[-，]上的偶函数，且x∈[0，]时，f（x）=-x²-x+5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若矩形ABCD的顶点A，B在函数y=f（x）的图象上，顶点C，D在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值．

Answer

（1）欲求函数f（x）的解析式，只须求出函数f（x）在x∈[-，0]时的解析式即可，利用函数的偶函数性质即可由y轴右侧的表达式求出在y轴左侧的表达式．最后利用分段函数写出解析式即可．
（2）设A点在第一象限，坐标为A（t，-t2-t+5），利用对称性求出B点坐标，进而求出矩形ABCD面积，最后利用导数求出此面积表达式的最大值即可．
解（1）当x∈[-，0]时，-x∈[0，]．
∴f（-x）=-（-x）2-（-x）+5=-x2+x+5．又∵f（x）是偶函数，
∴f（x）=f（-x）=-x2+x+5．
∴f（x）=
（2）由题意，不妨设A点在第一象限，
坐标为（t，-t2-t+5），其中t∈（0，]．
由图象对称性可知B点坐标为（-t，-t2-t+5）．
则S（t）=S矩形ABCD=2t（-t2-t+5）=-2t3-2t2+10t．
s′（t）=-6t2-4t+10．由s′（t）=0，得t1=-（舍去），t2=1．
当0＜t＜1时，s′（t）＞0；t＞1时，s′（t）＜0．
∴S（t）在（0，1]上单调递增，在[1，]上单调递减．
∴当t=1时，矩形ABCD的面积取得极大值6，
且此极大值也是S（t）在t∈（0，]上的最大值．
从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6．