Question

如果f（x）是函数f（x）的一个极值，称点（x，f（x））是函数f（x）的一个极值点．已知函数f（x）=（ax-b）（x≠0且a≠0）
（1）若函数f（x）总存在有两个极值点A，B，求a，b所满足的关系；
（2）若函数f（x）有两个极值点A，B，且存在a∈R，求A，B在不等式|x|＜1表示的区域内时实数b的范围．
（3）若函数f（x）恰有一个驻点A，且存在a∈R，使A在不等式表示的区域内，证明：0≤b＜1．

Answer

（1）先对函数求导，若函数f（x）总存在有两个极值点⇔f′（x）=0有两个根，从而确定a，b的关系
（2）转化为在（-1，1）内f′（x）=0有两个不等实根
结合（1）及根的分布可知，⇒，从而求b的取值范围
（3）若函数f（x）恰有一个极值点且存在a∈R，使A在不等式①⇔x2-ax+b=0的根在①的区域内只有一个，结合根的分别可求结果．
【解析】
（1）
令f'（x）=0得x2-ax+b=0
∵函数f（x）总存在有两个极值点
∴x2-ax+b=0由2个不同的实数根
∴a2-4b＞0
又∵a≠0且x≠0
∴（3分）
（2）x2-ax+b=0在（-1，1）有两个不相等的实根．
即得
∴-1＜b＜1且b≠0（7分）
（3）由①f'（x）=0⇒x2-ax+b=0（x≠0）
①当在x=a左右两边异号
∴（a，f（a））是y=f（x）的唯一的一个极值点
由题意知即即0＜a2＜1
存在这样的a的满足题意
∴b=0符合题意（9分）
②当b≠0时，f′（x）=
△=a2-4b=0即4b=a2
这里函数y=f（x）唯一的一个驻点为
由题意
即即
∴0＜b＜1（13分）
综上知：满足题意b的范围为b∈[0，1）．（14分）