Question

设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点移向另外三个顶点是等可能的，现投掷骰子根据其点数决定棋子是否移动：若投出的点数是偶数，棋子移动到另一个顶点；若投出的点数是奇数，则棋子不动．若棋子的初始位置在顶点A．
求：（Ⅰ）投了2次骰子，棋子才到达顶点B的概率；
（Ⅱ）记投了n次骰子，棋子在顶点B的概率为P_n．求P_n．

Answer

（I）本题研究事件“投了2次骰子，棋子才到达顶点B”的概率，此事件包含两种情况“第一次不动，第二次移到点B”、“第一次移到C或D，第二次移到B”分别计算出它们的概率，再求和既得；
（II）先根据题意判断出Pn与Pn-1的递推关系，通过构造新数列求出棋子在顶点B的概率为Pn．
【解析】
（I）根据题意得到棋子不动的概率为，棋子移动的概率为
投了2次骰子，棋子才到达顶点B有三种方式：A→A→B，A→D→B，A→C→B
故概率为P=
（II）根据题意知
且
所以
所以
所以