Question

（理科）已知二次函数f（x）=x²-ax+a（a＞0，x∈R），不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_m•c_m+1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{c_n}的变号数，若，求数列{c_n}的变号数．

Answer

（1）先根据不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素再结合a＞0求出a=4，进而代入求出Sn=n2-4n+4；再根据前n项和与通项之间的关系即可求出数列{an}的通项公式；
（2）先求出数列{bn}的通项，再结合错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn；
（3）先根据条件求出数列{cn}的通项，再通过做差求出数列{cn}的增减性，最后结合变号数的定义即可得到结论．
【解析】
（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素∴△=a2-4a=0⇒a=0或a=4
又由a＞0得a=4，f（x）=x2-4x+4
∴Sn=n2-4n+4
当n=1时，a1=S1=1-4+4=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-5
∴an=（n=1）
（n≥2且n∈N）…（5分）
（2）∵Tn=①
∴②
由①-②得
∴Tn=…（10分）

（3）由题设cn=
∵n≥3时，cn+1-cn=＞0
∴n≥3时，数列{cn}递增
∵c4=-=＜0
即n≥3时，有且只有一个变号数
又∵c1=-3，c2=5，c3=-3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0．
∴此处变号数有2个．
综上，得数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3．…（13分）