Question

如图，设F是椭圆的左焦点，直线l为对应的准线，直线l与x轴交于P点，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求证：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN；
（Ⅲ）求三角形△ABF面积的最大值．

Answer

（1）由|MN|=8，知a=4，由|PM|=2|MF|，知，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意，当AB的斜率不为0时，设AB方程为x=my-8，代入椭圆方程整理得：（3m2+4）y2-48my+144=0．△=576（m2-4），，．由此能够证明对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．
（3），当且仅当取到等号．由此能求出三角形△ABF面积的最大值．
【解析】
（1）∵|MN|=8，
∴a=4，
又∵|PM|=2|MF|，
∴，
∴c=2，b2=a2-c2=12，
∴椭圆的标准方程为．  （3分）
（2）当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0，满足题意，
当AB的斜率不为0时，设AB方程为x=my-8，
代入椭圆方程整理得：（3m2+4）y2-48my+144=0．
△=576（m2-4），，．
则==，
而
∴kAF+kBF=0，从而∠AFM=∠BFN．
综合可知：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．（8分）
（3），
即：，
当且仅当，即（此时适合于△＞0的条件）取到等号．
∴三角形△ABF面积的最大值是．       （13分）