Question

如图，在棱长都相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为AA₁，B₁C的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁C⊥平面BDE．

Answer

（1）取BC中点G，连接AG，EG，欲证直线DE∥平面ABC，只需证明DE平行平面ABC中的一条直线即可，由四边形ADEG为平行四边形，可知AG∥DE，AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，问题得证．
（2）取BC的中点G，判断三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，BB1⊥平面ABC，再证明B1C⊥BE，可证得：B1C⊥平面BDE．
证明：（1），
∵G，E分别为CB，CB1的中点，
∴EG∥BB1，且，
又∵正三棱柱ABC-A1B1C1，
∴EG∥AD，EG=AD
∴四边形ADEG为平行四边形．
∴AG∥DE
∵AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，
所以  DE∥平面ABC．
（2）由可得，取BC中点G
∵正三棱柱ABC-A1B1C1，
∴BB1⊥平面ABC．
∵AG⊂平面ABC，
∴AG⊥BB1，
∵G为BC的中点，AB=AC，
∴AG⊥BC∴AG⊥平面BB1C1C，
∵B1C⊂平面BB1C1C，
∴AG⊥B1C，
∵AG∥DE
∴DE⊥B1C，
∵BC=BB1，B1E=EC
∴B1C⊥BE，
∵BE⊂平面BDE，DE⊂平面BDEBE∩DE=E，
∴B1C⊥平面BDE．