Question

王老师给出一道题：定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+1）=-f（x），且在区间[-1，0]上是增函数，学生甲、乙、丙、丁各给出关于函数的一条性质：
甲：f（x+2）=f（x）                  乙：f（x）在区间[1，2]上是减函数
丙：f（x）的图象关于直线x=1对称     丁：f（x）在R上有最大（小）值
王老师看后说：“其中恰有三条正确，一条不正确”，请问是谁给出了错误的性质？（ ）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁

Answer

由f（x+1）=-f（x）可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），可得函数周期；根据偶函数f（x）在对称区间上的单调性相反，且在区间[-1，0]上是增函数可得函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增可判断乙，结合函数的周期判断丁正；由f（x+2）=f（x）=f（-x）可得f（2-x）=f（x）从而可判断丙．
【解析】
∵f（x+1）=-f（x）∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），可得函数的周期为2，故甲正确
由函数为定义在R上的偶函数f（x）可得函数的图象关于y轴对称，且在区间[-1，0]上是增函数
∴函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，故乙错误，结合函数的周期可知丁正确
∵f（x+2）=f（x）=f（-x）
∴f（2-x）=f（x）即函数的图象关于x=1对称．故丙正确
故选B