Question

设有不同的直线a，b和不同的平面α，β．给出下列命题：
①若a∥α，b∥β，且a∥β，则a∥b         ②若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，则a⊥b
③若a∥α，b∥β，且a∥b，则a∥β         ④若a⊥α，b⊥β，且a⊥b，则α⊥β其中正确的题号是    ．

Answer

借助于正方体模型加以解决：对于①：如图，设正方体的上底面为α，下底面为β，若a∥α，b∥β，且a∥β，但a不平行于b；对于②：若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，则a⊥b，由面面垂直的性质可知，正确；对于③：如下图，设正方体的下底面为α，上底面为β，若a∥α，b∥β，且a∥b，则a⊂β；对于④：若a⊥α，b⊥β，且a⊥b，面面垂直的判定定理知：α⊥β正确．
【解析】
利用正方体模型：
对于①：如上图，设正方体的上底面为α，下底面为β，若a∥α，b∥β，且a∥β，但a不平行于b，故错；
对于②：若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，则a⊥b，由面面垂直的性质可知，正确；
对于③：如下图，设正方体的下底面为α，上底面为β，若a∥α，b∥β，且a∥b，则a⊂β，故③错；
对于④：若a⊥α，b⊥β，且a⊥b，面面垂直的判定定理知：α⊥β正确．
其中正确的题号是 ②④．
故答案为：②④．