Question

设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且x＞0时0＜f（x）＜1．
（1）证明：f（0）=1，且x＜0时f（x）＞1；
（2）证明：f（x）在R 上单调递减；
（3）设A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，确定a 的范围．

Answer

对于抽象函数的求解策略和方法为赋值法，
（1）令m＞0，n=0，代入已知条件，即可求得结果；
（2））∀x1＜x2∈R，则x2-x1＞0，0＜f（x2-x1）＜1，f（x1）＞0⇒f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）f（x1）-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0代入已知条件即可判定函数的单调性．
（3）f（x2）f（y2）＞f（1）⇒f（x2+y2）＞f（1）结合函数f（x）在R上单调递减得到x2+y2＜1；f（ax-y+2）=1=f（0）⇒ax-y+2=0（一条直线）结合直线与圆的位置关系即可确定a 的范围．
【解析】
（1）证明：f（m+n）=f（m）•f（n），
令m＞0，n=0，⇒f（m）=f（m）f（0）
已知x＞0时0＜f（x）＜1．
⇒f（0）=1
设m=x＜0，n=-x＞0，f（-x）∈（0，1）
⇒f（0）=f（m+n）=f（m）f（n）=1⇒f（m）＞1，即当x＜0时f（x）＞1 …（4分）
（2）∀x1＜x2∈R，则x2-x1＞0，0＜f（x2-x1）＜1，f（x1）＞0⇒f（x2）-f（x1）
=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）f（x1）-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0
∴f（x）在R 上单调递减． …（10分）
（3）f（x2）f（y2）＞f（1）⇒f（x2+y2）＞f（1）
f（x）在R上单调递减
⇒x2+y2＜1（单位圆内部分）
f（ax-y+2）=1=f（0）⇒ax-y+2=0（一条直线）
A∩B=φ⇒⇒a2≤3⇒a∈[，]…（16分）