Question

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=2，AA₁=1，直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A₁B₁的中点．
（I）求异面直线AE与BF所成的角；
（II）求平面BDF与平面AA₁B所成二面角（锐角）的大小
（III）求点A到平面BDF的距离．

Answer

解法一：
在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．比如此题中，我们可以以A为坐标原点，分别以AB、AD、AA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz．这种解法的好处就是：①解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．②即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（I）∵，∴．即异面直线AE、BF所成的角为．
（II）易知平面AA1B的一个法向量．设是平面BDF的一个法向量，即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）大小为向量．
（III）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值，所以距离
解法二：
（I）求异面直线所成的角，也可以做适当的平移，把异面直线转化为相交直线，然后在相关的三角形中借助正弦或余弦定理解出所求的角．平移时主要是根据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等．连接B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为K，则FK∥AE．∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角．
（II）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由于DA⊥面AA2B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连接DG，由三垂线定理知BG⊥DG．∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角．
（III）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．由（II）知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面确的平面角所在的平面∴面AFD⊥面BDF．在Rt△ADF，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离．
【解析】
法一：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y
轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．
由已知AB=2，AA1=1，可得A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1）．
又AD⊥平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角即为∠DBA=30°，
又，
从而易得．
（I）∵，
∴=．
即异面直线AE、B所成的角为．]
（II）易知平面AA1B的一个法向量．
设是平面BDF的一个法向量，．
由，
取，∴．
即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）大小为．
（III）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值，
所以距离

所以点A到平面BDF的距离为．
解法二：（I）连接B1D1，过F作B1D1的垂线，
垂足为K，∵BB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直，
∴平面BDD1B1，
又平面BDD1B1，
因此FK∥AE．∴∠BFK为异面直线BF与AE所成的角．
连接BK，由FK⊥面BDD1B1得FK⊥BK，
从而△BKF为Rt△．
在Rt△B1KF和Rt△B1D1A1中，
由
得．
又，∴．
∴异面直线BF与AE所成的角为．
（II）由于DA⊥面AA2B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，
连接DG，由三垂线定理知BG⊥DG．
∴∠AGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角，
且∠DAG=90°，在平面AA1B中，延长BF与AA1交于
点S，∵F为A2B1的中点，A1F∥=，
即SA=2A1A=2=AB，∴Rt△BAS为等腰直角三角形，
垂足G点为斜边SB的中点F，即F、G重合．
易得．在Rt△BAS中，．
即平面BDF与平面AA1B所成二面角（锐角）的大小为．
（III）由（II）知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所
成二面确的平面角所在的平面∴面AFD⊥面BDF．
在Rt△ADF，由A作AH⊥DF于H，则AH即为点
A到平面BDF的距离．
由AH．DF=AD．AF，
得．
所以点A到平面BDF的距离为．