Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2，D为AA₁中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（Ⅲ）求三棱锥C₁-B₁CD的体积．

Answer

（Ⅰ）关键是证明B1C1⊥平面ACC1A1，利用直三棱柱的性质及底面是直角三角形易证之．
（Ⅱ）用勾股定理证明CD⊥DC1，又由（Ⅰ）知B1C1⊥CD，所以有CD⊥平面B1C1D，从而证明面面垂直．
（Ⅲ）等体积法，VC1-DCB1=VB1-DCC1   ，进行求解．
证明：（Ⅰ）∵∠A1C1B1=∠ACB=90°
∴B1C1⊥A1C1
又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1（2分）
∴B1C1⊥平面ACC1A1又CD⊂平面ACC1A1
∴B1C1⊥CD（4分）

（Ⅱ）由AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点，
可知，
∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1（6分）
又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D
又CD⊂平面B1CD
故平面B1CD⊥平面B1C1D（9分）
（Ⅲ）【解析】
VC1-DCB1=VB1-DCC1
=
=
=．（12分）