Question

已知抛物线y=（m-1）x²+（m-2）x-1（m∈R）．
（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
（2）若关于x的方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围；
（3）如果抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且三角形ABC的面积等于2，试求m的值．

Answer

（1）根据函数解析式得，二次项的系数不为零、判别式大于零，求出实数m的范围；
（2）由韦达定理求出两根之和、两根之积，再求出的值，根据完全平方和公式得出的值，再由题意列出不等式，求出m的范围；
（3）先求出C点的纵坐标，再把面积公式用（2）的两根之差表示出来，再由x1-x2与x1+x2、x1x2之间关系，列出关于m的不等式，求出m的范围．
【解析】
（1）由题意知，有，解得m2＞0且m≠1，
∴m的取值范围为{m|m≠0且m≠1}．             
（2）在（1）的条件下，设（m-1）x2+（m-2）x-1=0的两个不等实根为x1、x2，
∴x1+x2=，x1x2=，∴==m-2
∴=-=（m-2）2+2（m-1）≤2，即m2-2m≤0，
解得，0≤m≤2，
∴m的取值范围为{m|0＜m＜1或1＜m≤2}．
（3）由（2）知，A和B点的横坐标为：x1、x2，设点C的纵坐标为yc，
把x=0代入解析式得，yc=-1，
∵三角形ABC的面积等于2，∴|x1-x2|•|yc|=2，∴|x1-x2|=4，
∵x1+x2=，x1x2=，
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=16，即-4×=16，
解得，m=或．