Question

已知函数f（x）=x（x-a）²+b在x=2处有极大值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围；
（Ⅲ）当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x²的下方，求b的取值范围

Answer

（Ⅰ）通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值．
（Ⅱ）把（1）求得的a代入函数关系式，设切点坐标，进而根据导函数可知切线斜率，则切线方程可得，整理可求得b的表达式，令g'（x）=0解得x1和x2．进而可列出函数g（x）的单调性进而可知-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，结论可得．
（Ⅲ）当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x2的下方，进而可知x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]时恒成立，整理可得关于b的不等式，令h（x）=-x3+3x2+9x+1，对h（x）进行求导由h'（x）=0得x1和x2．分别求得h，h（-1），h（3），h（4），进而可知h（x）在[-2，4]上的最小值是，进而求得b的范围．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=x（x-a）2+b=x3-2ax+a2x+b，
f'（x）=3x2-4ax+a2，
f'（2）=12-8a+a2=0，解得a=2，a=6，
当a=2时，函数在x=2处取得极小值，舍去；
当a=6时，f'（x）=3x2-24x+36=3（x-2）（x-6），函数在x=2处取得极大值，符合题意，
∴a=6．

（Ⅱ）f（x）=x3-12x2+36x+b，
设切点为（x，x3-12x2+36x+b），则切线斜率为f'（x）=3x2-24x+36，切线方程为
y-x3+12x2-36x-b=（3x2-24x+36）（x-x），
即y=（3x2-24x+36）x-2x3+12x2+b，
∴-2x3+12x2+b=0
∴b=2x3-12x2．
令g（x）=2x3-12x2，则g'（x）=6x2-24x=6x（x-4），
由g'（x）=0得，x1=0，x2=4．
函数g（x）的单调性如下：
∴当-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切．

（Ⅲ）∵当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x2的下方，
∴x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]时恒成立，
即b＜-x3+3x2+9x+1在x∈[-2，4]时恒成立．
令h（x）=-x3+3x2+9x+1，则h'（x）=-3x2+6x+9=-3（x-3）（x+1），
由h'（x）=0得，x1=-1，x2=3．
∵h（-2）=3，h（-1）=-4，h（3）=28，h（4）=21，
∴h（x）在[-2，4]上的最小值是-4，b＜-4．