Question

已知点P在第一象限内，以P为圆心的圆过点A（-1，2）和B（1，4），线段AB的垂直平分线交圆P于C、D两点，且|CD|=．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程；
（3）若直线AB与x轴交于点M，求的值．

Answer

（1）由A（-1，2）和B（1，4）利用中点坐标公式得出AB的中点，再根据垂直关系求出CD的斜率，最后写出直线CD的方程；
（2）设点P的坐标为（a，b），（a＞0，b＞0）设圆P的方程为（x-a）2+（y-b）2=10，利用条件：A在圆P上等求得a值，最后得到圆P的方程；
（3）直线AB的方程为y-2=x+1，令y=0x=-3得M的坐标，设AB与CD交于点E，由题意AB⊥CD，结合向量的运算即可求得的值．
【解析】
（1）∵A（-1，2）和B（1，4）
∴AB的中点为（0，3），∴kAB=1
∵AB⊥CD∴kCD=-1---------（2分）
∴直线CD的方程为y=-x+3，即  x+y-3=0---------（4分）
（2）设点P的坐标为（a，b），（a＞0，b＞0）
∵，∴圆P的半径为
∴圆P的方程为（x-a）2+（y-b）2=10---------（5分）
∵A在圆P上，∴（a+1）2+（b-2）2=10
∵P在CD上，∴b=3-a，---------（9分）
∴（a+1）2+（1-a）2=10
∴a=±2∵a＞0
∴a=2
∴圆P的方程为  （x-2）2+（y-1）2=10--------（11分）
（3）直线AB的方程为y-2=x+1，即x-y+3=0
令y=0x=-3得∴M （-3，0）--------（12分）
设AB与CD交于点E，由题意AB⊥CD，
∴-------（13分）
∴
∵，
∴，∴-------（16分）