Question

已知棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为侧面AB₁的中心，F为棱A₁D₁的中点，试计算：
（1）；
（2）求证EF⊥面AB₁C；
（3）求ED₁与面CD₁所成角的余弦值．

Answer

以AB，AD，AA1的方向为x轴，y轴，z轴方向建立空间直角坐标
（1）求出的坐标，利用向量数量积的坐标表示求出．
（2）根据直线垂直的坐标表示，由题，可通过证明证明EF⊥面AB1C
（3）ED1与面CD1所成角的正弦值 等于与平面CD1所成角的余弦值的绝对值，再利用同角三角函数基本关系式求解即可．
【解析】
以AB，AD，AA1的方向为x轴，y轴，z轴方向建立空间直角坐标互AO为坐标原点，A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F的坐标分别为（0，0，0），（4，0，0），（4，4，0），（0，4，0），（0，0，4），（4，0，4），（4，4，4），（0，4，4），（2，0，2），（0，2，4）
（1）
（2）∵∴EF⊥AB1EF⊥B1C
从而EF⊥面AB1C
（3）面CD1的法向量可取，设ED1与面CD1所成的角为θ
则
故所求角的余弦值为．