Question

已知复数z满足|z|=，z²的虚部为2．
（1）求复数z；
（2）设z，，z-z²在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；
（3）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m-z|=1求|m|的最值．

Answer

（1）设出复数的代数形式的式子，根据所给的模长和z2的虚部为2．得到关于复数实部和虚部的方程组，解方程组即可．
（2）写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，即得到三角形的三个顶点的坐标，求出三角形的面积．
（3）根据复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，得到复数的对应的值，根据复数的几何意义，看出复数对应的点在一个圆上，根据圆的性质求出最值．
【解析】
（1）设Z=x+yi（x，y∈R）
由题意得Z2=（x-y）2=x2-y2+2xyi
∴
故（x-y）2=0，∴x=y将其代入（2）得2x2=2，
∴x=±1
故  或
故Z=1+i或Z=-1-i；
（2）当Z=1+i时，Z2=2i，Z-Z2=1-i
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）
∴
当Z=-1-i时，=-2i，Z-Z2=-1-3i，A（-1，-1），B（0，-2），C（-1，3）
．
（3）由题知，z=1+i
设m=c+di，则m-z=（c-1）+（d-1）i
|m-z|=1，
∴（c-1）2+（d-1）2=1
则复数m在复平面内所对应的点为M的轨迹为（1，1）为圆心，1为半径的圆
所以，