Question

设a和b分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，且随机变量ξ表示方程ax²+bx+1=0的实根的个数（相等的两根算一个根）．
（1）求方程ax²+bx+1=0无实根的概率；
（2）求随机变量ξ的概率分布列；
（3）求在先后两次出现的点数中有4的条件下，方程ax²+bx+1=0有实根的概率．

Answer

（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件根据分步计数原理知是36，满足条件的事件：方程无实根，则△=b2-4a＜0即b2＜4a，通过列举法得到所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式求出值．
（2）由题意知实根的个数只有三种结果，0、1、2，根据上一问的计算可以写出当变量取值时对应的概率，写出分布列．
（3）利用古典概型的概率公式求出事件“先后两次出现的点数中有4”的概率，利用条件概率的概率公式求出方程ax2+bx+1=0有实根的概率．
【解析】
基本事件总数为：6×6=36
（1）若方程无实根，则△=b2-4a＜0即b2＜4a
若a=1，则b=1，
若a=2，则b=1，2
若a=3，则b=1，2，3
若a=4，则b=1，2，3
若a=5，则b=1，2，3，4
若a=6，则b=1，2，3，4
∴目标事件个数为1+2+3+3+4+4=17
因此方程…（6分）
（2）由题意知，ξ=0，1，2，
则，
故ξ的分布列为

（3）记“先后两次出现的点数中有4”为事件M，
“方程ax2+bx+1=0有实根”为事件N，则
，…（4分）