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规定,其中x∈R,m是正整数,且CX=1.这是组合数Cnm(n,m是正整数,且m...

规定manfen5.com 满分网,其中x∈R,m是正整数,且CX=1.这是组合数Cnm(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求C-153的值;
(2)组合数的两个性质:①Cnm=Cnn-m;②Cnm+Cnm-1=Cn+1m是否都能推广到Cxm(x∈R,m∈N*)的情形?若能推广,请写出推广的形式并给予证明;若不能请说明理由.
(3)已知组合数Cnm是正整数,证明:当x∈Z,m是正整数时,Cxm∈Z.
(1)根据所给的组合数公式,写出C-153的值,这里与平常所做的题目不同的是组合数的下标是一个负数,在本题的新定义下,按照一般组合数的公式来用. (2)Cnm=Cnn-m不能推广到Cxm的情形,举出两个反例 ,无意义;Cnm+Cnm-1=Cn+1m能推广到Cxm的情形,可以利用组合数的公式来证明,证明的方法同没有推广之情相同. (3)可分三类讨论,x≥m与0≤x<m 时易证得结论成立,当x<0时,因为-x+m-1>0,由定义中的运算公式展开再整理即可得到此种情况下也是成立的 【解析】 (1)由题意C-153==-C173=-680   …(4分) (2)性质①Cnm=Cnn-m不能推广,例如x=时,有定义,但无意义; 性质②Cnm+Cnm-1=Cn+1m 能推广,它的推广形式为Cxm+Cxm-1=Cx+1m,x∈R,m∈N* 证明如下:当m=1时,有Cx1+Cx=x+1=Cx+11;   …(1分) 当m≥2时,有Cxm+Cxm-1====Cx+1m,(6分) (3)由题意,x∈Z,m是正整数时 当x≥m时,组合数Cxm∈z成立; 当0≤x<m 时,,结论也成立; 当x<0时,因为-x+m-1>0,∴Cxm==(-1)m=(-1)mC-x+m-1m∈z(7分) 综上所述当x∈Z,m是正整数时,Cxm∈Z
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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