Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3ax+1．
（Ⅰ）若一条直线与曲线y=f（x）相切于点（1，3），求这条直线的方程；
（Ⅱ）若该函数在x=2处取到极值，试判断方程f（x）=0的实根的个数．

Answer

（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）首先求出函数的导数，根据函数在x=2处取到极值求得a值，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程f（x）=0有3个不同实根．
【解析】
（Ⅰ）将点（1，3）代入f（x）=x3+3ax2+3ax+1，得a=．…（2分）
于是f（x）=x3+x2+x+1．
∴f′（x）=3x2+x+．
由题意知该直线的斜率为k=f′（1）=．…（4分）
∴所求直线方程为y-3=（x-1），即9x-2y-3=0．…（6分）
（Ⅱ） f′（x）=3x2+6ax+3a．
由f′（2）=0，得a=-．…（8分）
此时f′（x）=3x2-x-．
由f′（x）=3x2-x-＞0，解得x＜-或x＞2．
∴f（x）最大f（-）＞0，f（x）最小=f（2）＜0．
所以曲线y=f（x）与x轴有3个交点．，即方程f（x）=0有3个实根．…（12分）