Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，M、N分别为B₁B和A₁D的中点．
（Ⅰ）求直线MN与平面ADD₁A₁所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角A-MN-A₁的余弦值．

Answer

（Ⅰ）要求直线MN与平面ADD1A1所成的角，关键是找出线面角，取AA1中点P，连接PM，PN．则MP⊥面ADD1A1．故可求．
（Ⅱ）要求二面角A-MN-A1的余弦值，关键是作出二面角A-MN-A1的平面角，利用定义可求，在△AMN中，易知AN=MN=，AM=，从而求得．在△A1G A中，可求cos∠A1G A=-．
【解析】
（Ⅰ）取AA1中点P，连接PM，PN．则MP⊥面ADD1A1．
所以∠PNM为直线MN与平面ADD1A1所成的角．…（2分）
在Rt△PMN中，易知PM=1，，
∴tan∠PNM=，∠PNM=arctan2．
故直线MN与平面ADD1A1所成的角为arctan2．…（6分）

（Ⅱ）∵N是A1D的中点，M是BB1的中点，
∴A1N=AN，A1M=AM．
又MN为公共边，∴△A1MN≌△AMN．
在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，连接A1G，
则∠A1G A即为二面角A-MN-A1的平面角．…（8分）
在△AMN中，易知AN=MN=，AM=，从求得．
在△A1G A中，AA1=2，A1G=GA=，
∴cos∠A1G A=-．…（12分）