Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=3•（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和T_n；
（Ⅲ）求{b_n}的最小值．

Answer

（I）先求出首项，然后根据n≥2时，an=Sn-Sn-1求出通项，利用分段函数表示出来即可；
（II）先求出数列{}的通项公式，然后利用错位相消法求出前n项和即可；
（III）先计算bn+1-bn的通项公式，然后讨论n得到bn+1与bn的大小关系，从而得到数列的单调性，即可求出数列的最小值．
【解析】
（Ⅰ）n=1，时，a1=S1=3．…（1分）
n≥2时，an=Sn-Sn-1=3×-3×=．
∴…（4分）
（Ⅱ） bn=，∴．…（6分）
．
．
两式相减，得=2-2-n．
∴．…（8分）
（Ⅲ）由（2）知 bn=．
∴bn+1-bn=．…（10分）
所以当n≤2时有：bn+1-bn≤0，即b1＞b2=b3；
当n＞2时有：bn+1-bn＞0，即b3＜b4＜b5＜…；
{bn}的最小值为．…（13分）