Question

市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？

Answer

（Ⅰ）根据该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．可得年销售收入为（11.8-p）万元，从而可求政府对该商品征收的税收函数；
（II）由y≥16得（11.8-p）p≥16，即p2-12p+20≤0，从而可求税率p%的范围；
（III）第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g（p）=（11.8-p）（2≤p≤10），可以证明g（p）在[2，10]是减函数，从而可求厂家销售金额最大值．
【解析】
（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，
年销售收入为（11.8-p）万元，
政府对该商品征收的税收y=（11.8-p）p%（万元）
故所求函数为y=（11.8-p）p
由11.8-p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8-p）p≥16
化简得p2-12p+20≤0，即（p-2）（p-10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元． …（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）=（11.8-p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max=g（2）=800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大． …（14分）