Question

（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（-2，-）的椭圆的标准方程．
（2）已知椭圆C的方程是+=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．

Answer

（1）先设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标可求得c，进而可得a和b的关系，把点（-2，-）代入椭圆方程，求得b，进而根据a=求得a，椭圆的方程可得．
（2）设直线l的方程为y=kx+m且椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），直线方程和椭圆方程联立进而可得x1+x2和y1+y2的表达式，进而可得AB中点M的坐标进而可判定AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上．
（3）作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．
【解析】
（1）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，
∴a2=b2+4，即椭圆的方程为+=1．
∵点（-2，-）在椭圆上，
∴+=1．
解得b2=4或b2=-2（舍）．
由此得a2=8，即椭圆的标准方程为+=1．

（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，
与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），
y=kx+m，
则有+=1．
解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0．
∵△＞0，∴m2＜b2+a2k2，
即-＜m＜．
则x1+x2=-，y1+y2=kx1+m+kx2+m=，
∴AB中点M的坐标为（-，）．
∴线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上．
（3）【解析】
如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．