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已知函数f (x)=4sinx•sin2manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网)+2cos2x+1+a,x∈R是一个奇函数.
(1)求a的值和f (x)的值域;
(2)设w>0,若y=f (wx)在区间[-manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网]的增函数,求w的取值范围;
(3)设|θ|<manfen5.com 满分网,若对x取一切实数,不等式4+f (x+θ)f (x-θ)>2f (x)都成立,求θ的取值范围.
首先将函数化简(1)根据函数是奇函数求出a的值,然后有正弦函数求出值域; (2)写出函数f (wx)的式子,然后根据正弦函数的单调性求出x的范围,进而根据区间[-,]的增函数,求出w的取值范围; (3)首先求出4+f (x+θ)f (x-θ)并化简和求出最小值,再利用sin2θ<,求出结果. 【解析】 化简得f(x)=2sinx+a+3 (1)f(-x)=-f(x)⇒a=-3∴f(x)=2sinx f(x)∈[-2,2](4分) (2)f(wx)=2sinwx(w>0) -+2kπ≤wx≤2kπ+k∈Z -+≤x≤+ ⇒0<w≤ 综上以上,0<w≤(8分) (3)|θ|<,x∈R时 4+4sin(x+θ)sin(x-θ)>4sinx 即sin2x-sinx+1>sin2θ恒成立 (sin2x-sinx+1)min= ∴sin2θ< -<sinθ<θ∈(-,) ∴θ∈(-,)(13分)
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考点分析:
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(1)求sinx的值;
(2)求sin(2xmanfen5.com 满分网)的值.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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