Question

对于函数，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N*）．
（1）写出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x）的表达式；
（2）根据（I）的结论，请你猜想并写出f_4n-1（x）的表达式；
（3）若x∈C，求方程f₂₀₁₀（x）=x的解集．

Answer

（1）由f（x）的解析式，把f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），依次看作一个整体依次代入即可求得．
（2）由（1）得出fn（x）是以4为周期，又4n-1=4（n-1）+3，f4n-1（x）=f4n+3（x）=f3（x）．
（3）由（1）得出fn（x）是以4为周期，求出f2010（x）的解析式，列出方程，求出x的解集．
解（1）∵，
f4（x）=x，f5（x）=f（x）=；
（2）根据（I）知：fn（x）是以4为周期；
∴；
（3）∵fn（x）是以4为周期，∴f2010（x）=f2（x）=-
∴-=x，∴x2=-1，
∴原方程的解集为{i，-i}．