Question

已知关于x的方程4x²-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值．

Answer

解法一设出直角三角形的两个锐角，得到两个锐角之间的三角函数之间的关系，写出一元二次方程的判别式，根据判别式恒大于0，得到方程的根的情况，得到结果．
解法二根据两个根式锐角三角形的两个锐角，再表示出两个方程的根，得到锐角α的余弦值，进而得到结果．
【解析】
解法一：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=
∴cosα=sinβ---（2分）
∵方程4x2-2（m+1）x+m=0中，△=4（m+1）2-4•4m=4（m-1）2≥0
∴当m∈R，方程恒有两实根．
又∵cosα+cosβ=sinβ+cosβ=，cosα•cosβ=sinβcosβ=------（6分）
∴由以上两式及sin2β+cos2β=1，得1+2•=（）2解得m=±------（8分）
当m=时，cosα+cosβ=＞0，cosα•cosβ=＞0，满足题意，
当m=-时，cosα+cosβ=＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去．
综上，m=------（10分）
解法二：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=
∴cosα=sinβ---（2分）
方程4x2-2（m+1）x+m=0的两根为----------（6分）
所以cosα=，所以α=60且β=30----------（8分）
cosβ=cos30°=，所以m=----------（10分）．